Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é:

Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve frações algébricas. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a fração como uma soma de frações mais simples. Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos do lado direito:

Passo 4

Distribuindo as constantes:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  • Para : .
  • Para : .
  • Para o termo constante: .

Passo 6

Primeiro, resolvemos :
Agora, usando :
Por fim, substituímos e na equação :

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Integrando cada termo:
  1. .
  2. .
  3. .

Passo 10

Juntando tudo e simplificando as constantes ( ):

Resposta

A integral é igual a:

onde é a constante de integração.

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Calcule as integrais definidas
(g)
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
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