integral x+1x(x-2)(x-2) d x=

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é:
integral x+1x(x-2)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve frações algébricas. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para quebrar uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a fração x+1x(x-2)^2 como uma soma de frações mais simples. Vamos supor que:
x+1x(x-2)^2 = Ax + Bx-2 + C(x-2)^2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x-2)^2 para eliminar os denominadores:
x+1 = A(x-2)^2 + Bx(x-2) + Cx
Agora, expandimos os termos do lado direito:
x+1 = A(x^2 - 4x + 4) + Bx(x - 2) + Cx

Passo 4

Distribuindo as constantes:
x+1 = A x^2 - 4A x + 4A + B x^2 - 2B x + C x
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x+1 = (A + B) x^2 + (-4A - 2B + C) x + 4A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  • Para x^2: A + B = 0.
  • Para x: -4A - 2B + C = 1.
  • Para o termo constante: 4A = 1.

Passo 6

Primeiro, resolvemos 4A = 1:
A = 14
Agora, usando A + B = 0:
14 + B = 0 Rightarrow B = -14
Por fim, substituímos A e B na equação -4A - 2B + C = 1:
-4(14) - 2(-14) + C = 1,
-1 + 12 + C = 1,
-12 + C = 1 Rightarrow C = 32

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a fração original como:
x+1x(x-2)^2 = 1/4x + -1/4x-2 + 3/2(x-2)^2

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral x+1x(x-2)^2 , dx = integral 1/4x , dx + integral -1/4x-2 , dx + integral 3/2(x-2)^2 , dx

Passo 9

Integrando cada termo:
  1. integral 1/4x , dx = 14 ln|x| + C1.
  2. integral -1/4x-2 , dx = -14 ln|x-2| + C2.
  3. integral 3/2(x-2)^2 , dx = 32 cdot ( -1x-2 ) + C3 = -32(x-2) + C3.

Passo 10

Juntando tudo e simplificando as constantes ( C1 + C2 + C3 = C):
integral x+1x(x-2)^2 , dx = 14 ln|x| - 14 ln|x-2| - 32(x-2) + C

Resposta

A integral é igual a:
14 ln|x| - 14 ln|x-2| - 32(x-2) + C,
onde C é a constante de integração.

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