Resolva a equação do calor e , quando

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação do calor dada:
com , no intervalo , e as condições de contorno . A condição inicial é .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial parcial que descreve como o calor se distribui ao longo de uma barra ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e a série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Esse é o primeiro passo no método de separação de variáveis. A ideia é separar as variáveis para resolver equações que dependem de uma única variável.

Passo 3

Substituindo na equação original:
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Resolvendo a equação para :
Com as condições de contorno , a solução não-trivial ocorre quando para . Portanto, as soluções são:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para :
Substituindo :
A solução dessa equação diferencial é:

Passo 6

Assim, cada modo de vibração da temperatura é dado por:
A solução geral é a soma de todos esses modos:

Passo 7

Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Isso é uma série de Fourier para a função . Calculamos os coeficientes usando:

Resposta

A solução da equação do calor é:
Essa série representa a distribuição de temperatura ao longo da barra no tempo .

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