Resolva a equação do calor
e
, quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação do calor dada:
com
, no intervalo
, e as condições de contorno
. A condição inicial é
.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial parcial que descreve como o calor se distribui ao longo de uma barra ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e a série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Esse é o primeiro passo no método de separação de variáveis. A ideia é separar as variáveis para resolver equações que dependem de uma única variável.
Passo 3
Substituindo
na equação original:
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Resolvendo a equação para
:
Com as condições de contorno
, a solução não-trivial ocorre quando
para
. Portanto, as soluções são:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para
:
Substituindo
:
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 6
Assim, cada modo de vibração da temperatura é dado por:
A solução geral é a soma de todos esses modos:
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Isso é uma série de Fourier para a função
. Calculamos os coeficientes
usando:
Resposta
A solução da equação do calor é:
Essa série representa a distribuição de temperatura ao longo da barra no tempo
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas
(g)
(g)
Calcule as integrais definidas
(a)
(a)
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.