Resolva a equação do calor k partial^2 upartial x^2=partial upartial t(k>0 e 0 <= x <= L), quando
k=1, u(0, t)=u(L, t)=0, u(x, 0)=x L-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação do calor dada:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t
com , no intervalo , e as condições de contorno . A condição inicial é .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial parcial que descreve como o calor se distribui ao longo de uma barra ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e a série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, t) = X(x)T(t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Esse é o primeiro passo no método de separação de variáveis. A ideia é separar as variáveis para resolver equações que dependem de uma única variável.

Passo 3

Substituindo partial upartial t = X(x) dTdt na equação original:
partial^2 upartial x^2 = T(t) d^2Xdx^2
X(x) dTdt = d^2Xdx^2 T(t)
Substituindo na equação do calor:
1T(t) dTdt = 1X(x) d^2Xdx^2 = -lambda
Dividindo ambos os lados por dTdt + lambda T = 0 :
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Resolvendo a equação para d^2Xdx^2 + lambda X = 0 :
Xn(x) = sin( npi xL )
Com as condições de contorno , a solução não-trivial ocorre quando para . Portanto, as soluções são:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para dTdt + lambda T = 0 :
dTdt + ( npiL )^2 T = 0
Substituindo Tn(t) = e^- ( npiL )^2 t :
A solução dessa equação diferencial é:

Passo 6

Assim, cada modo de vibração da temperatura é dado por:
un(x, t) = sin( npi xL ) e^- ( npiL )^2 t
A solução geral é a soma de todos esses modos:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin( npi xL ) e^- ( npiL )^2 t

Passo 7

Para encontrar os coeficientes xL - x^2 = sumn=1^infty Bn sin( npi xL ) , usamos a condição inicial Bn = 2L integral0^L (xL - x^2) sin( npi xL ) dx :
Isso é uma série de Fourier para a função . Calculamos os coeficientes usando:

Resposta

A solução da equação do calor é:
u(x, t) = sumn=1^infty ( 2L integral0^L (xL - x^2) sin( npi xL ) dx ) sin( npi xL ) e^- ( npiL )^2 t
Essa série representa a distribuição de temperatura ao longo da barra no tempo .

Exercícios relacionados