Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre números complexos. O problema pede para esboçar o conjunto de números complexos
que satisfazem
, onde
é um número complexo qualquer. Para resolver, vamos precisar entender o que representa a parte real de um número complexo e como isso se traduz graficamente no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. A condição
significa que estamos interessados em todos os pontos no plano complexo cuja coordenada
seja maior ou igual a
, onde
.
Passo 3
Para esboçar esse conjunto, imagine o plano cartesiano onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical a parte imaginária. A condição
corresponde a todos os pontos à direita da reta vertical que passa por
. Essa reta é a fronteira do conjunto.
Passo 4
Sobre se o conjunto é fechado ou aberto: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Como incluímos a reta
(por causa do
), o conjunto é fechado. Não é aberto porque conjuntos abertos não incluem a fronteira.
Passo 5
A fronteira do conjunto é justamente a reta vertical
. Isso porque qualquer pequena vizinhança de um ponto nessa reta contém pontos que estão tanto dentro quanto fora do conjunto.
Passo 6
Agora, vamos ver se o conjunto é um domínio. Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como nosso conjunto é fechado, não é um domínio. Além disso, está conectado porque é uma metade contínua do plano.
Passo 7
Por último, verificar se o conjunto é limitado. Um conjunto é limitado se está todo contido dentro de algum círculo de raio finito. No caso, a metade do plano se estende infinitamente para a direita, para cima e para baixo, portanto, não é limitado.
Resposta
O conjunto
é uma região fechada no plano complexo, representada por uma metade do plano à direita da reta vertical
. Sua fronteira é essa própria reta vertical. O conjunto não é um domínio e não é limitado.
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e
, quando
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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