Resolva as seguintes integrais indefinidas: integral sen^6 x cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, vamos trabalhar com trigonometria e técnicas de substituição para facilitar a resolução. Precisamos usar as identidades trigonométricas e escolher uma parte da função para substituir, simplificando assim a integral.

Passo 2

Primeiro, observe que o expoente de integral sin^6x cos^3x , dx = integral sin^6x cos^2x cdot cos x , dx é ímpar (3). Isso é útil porque podemos separar uma para servir como na substituição. Vamos reescrever a integral dessa forma:

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica integral sin^6x (1 - sin^2x) cos x , dx para substituir :

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja , então a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo integral u^6 (1 - u^2) , du e na integral, temos:

Passo 6

Agora, vamos distribuir integral (u^6 - u^8) , du dentro dos parênteses:

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral u^6 , du - integral u^8 , du = u^77 - u^99 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos sin^7x7 - sin^9x9 + C de volta por :

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^6x cos^3x , dx = sin^7x7 - sin^9x9 + C

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