integral0^2 3 x^2(1+x^3)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^2 3 x^2(1+x^3)^3 dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que vai simplificar a integração. Olhando para a expressão u = 1 + x^3 , percebemos que o que está dentro do parênteses pode ser uma boa candidata para a substituição.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 3x^2 em termos de du = 3x^2 dx . Para isso, derivamos em relação a :
Isso significa que:
Perceba que temos na nossa integral original, que é exatamente o que encontramos para . Isso vai simplificar muito nossa integral!

Passo 4

Vamos substituir integral0^2 3 x^2(1+x^3)^3 dx = integralu(0)^u(2) u^3 du e u(0) = 1 + (0)^3 = 1 na integral original:
u(2) = 1 + (2)^3 = 1 + 8 = 9
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando integral1^9 u^3 du :
E quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral u^3 du = u^44 + C em relação a [ u^44 ]1^9 = 9^44 - 1^44 :
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores:
9^44 = 65614 = 1640.25
1^44 = 14 = 0.25
Subtraindo:
1640.25 - 0.25 = 1640

Resposta

A integral vale 1640.

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