Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com frações algébricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois binômios.

Passo 3

Com o denominador fatorado, a fração fica:
Agora, vamos expressar essa fração como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos agora resolver para e .

Passo 5

Escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 8

Integrando cada termo:
Onde e são constantes de integração.

Passo 9

Juntando as integrais e combinando as constantes:
Onde é a constante de integração final.

Resposta

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Se , qual é o valor de ?
Usando a fórmula para e a identidade , faça a substituição para mostrar que
e
É correto afirmar que o volume de uma piramide de base quadrada com lado L e cuja altura 6́ h, será:
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