integral xx^2-5 x+6 d x=ln |x-2|+ln |x-3|+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com frações algébricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois binômios.

Passo 3

Com o denominador fatorado, a fração fica:
x(x - 2)(x - 3)
Agora, vamos expressar essa fração como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes x(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3 e tais que:

Passo 4

Para encontrar x = A(x - 3) + B(x - 2) e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos agora resolver para e .

Passo 5

Escolhemos valores de 3 = A(3 - 3) + B(3 - 2) que simplificam a equação:
  • Se 3 = 0 + B(1):
B = 3
2 = A(2 - 3) + B(2 - 2)
2 = A(-1) + 0
  • Se A = -2:

Passo 6

Agora que temos x(x - 2)(x - 3) = -2x - 2 + 3x - 3 e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral xx^2-5x+6 , dx = integral ( -2x - 2 + 3x - 3 ) , dx

Passo 8

Integrando cada termo:
integral -2x - 2 , dx = -2 ln|x - 2| + C1
integral 3x - 3 , dx = 3 ln|x - 3| + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 9

Juntando as integrais e combinando as constantes:
-2 ln|x - 2| + 3 ln|x - 3| + C
Onde é a constante de integração final.

Resposta

integral xx^2-5x+6 , dx = -2 ln|x - 2| + 3 ln|x - 3| + C

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