integral0^1(e^x+2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, onde vamos usar a técnica de integração para encontrar a área sob a curva entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar conhecer as integrais básicas de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, assim fica mais fácil de resolver:
integral0^1(e^x+2 x) dx = integral0^1 e^x dx + integral0^1 2x , dx
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos resolver a primeira integral: integral e^x dx = e^x + C . A integral de é bem direta, pois a função exponencial é uma das funções mais simples para integrar. Sabemos que:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui já que estamos resolvendo uma integral definida.

Passo 4

Em seguida, vamos resolver a segunda integral: integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2 + C . Aqui, usamos a regra de potência para integrais. A regra diz que . No nosso caso, :
Novamente, a constante de integração será descartada na integral definida.

Passo 5

Agora, vamos somar as duas integrais que encontramos:
integral0^1 e^x dx + integral0^1 2x , dx = [e^x]0^1 + [x^2]0^1
Isso significa que vamos calcular a diferença dos valores das funções nos limites 1 e 0.

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, para [e^x]0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 :
Sabemos que .

Passo 7

Agora, para [x^2]0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1 :

Resposta

Somando os resultados, temos:
(e - 1) + 1 = e
Então, o valor da integral é .

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