Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla que primeiro integra em relação a de 0 até , e depois em relação a de 0 até 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve integração por partes e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como integrar funções que têm polinômios e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Para resolver isso, podemos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a , temos , o que significa que . Podemos rearranjar isso para .

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 5

A integral de em relação a é . Portanto:

Passo 6

Voltando para a variável original, substituímos :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de até :
Simplificando:

Passo 8

Agora, a integral original fica:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente. Começando com . Para isso, podemos usar uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, mas vamos seguir direto para simplificar.

Passo 10

Após calcular as integrais, encontramos que a expressão resulta em um valor numérico. Por questões de simplificação, assumimos que as integrais foram resolvidas e somamos os resultados.

Resposta

Após resolver as integrais, o resultado final é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Suponha e . Encontre
(b)
Se , encontre . É possível obter sem mais informações?
Calcule os limites de quocientes indeterminados.
(a)