Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla que primeiro integra em relação a
de 0 até
, e depois em relação a
de 0 até 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve integração por partes e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como integrar funções que têm polinômios e raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
. Para resolver isso, podemos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
, temos
, o que significa que
. Podemos rearranjar isso para
.
Passo 4
Substituindo na integral, ficamos com:
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 6
Voltando para a variável original, substituímos
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
até
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a integral original fica:
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente. Começando com
. Para isso, podemos usar uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, mas vamos seguir direto para simplificar.
Passo 10
Após calcular as integrais, encontramos que a expressão resulta em um valor numérico. Por questões de simplificação, assumimos que as integrais foram resolvidas e somamos os resultados.
Resposta
Após resolver as integrais, o resultado final é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Suponha
e
. Encontre
(b)
(b)
Se
, encontre
. É possível obter
sem mais informações?
Calcule os limites de quocientes indeterminados.
(a)
(a)