Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral definida que calcula a área entre duas funções no intervalo de até . O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente integração de funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos precisar dividir a integral em partes mais simples e usar algumas fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Isso significa que vamos integrar a função de até .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Agora, temos duas integrais mais simples para calcular.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
Isso pode ser dividido em:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando :
A integral de em relação a é .
Então,

Passo 6

Integrando :
A integral de uma constante em relação a é .
Então,

Passo 7

Somando as duas partes integradas:
Então, a primeira parte da nossa integral vale .

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa é a integral de uma função radical do tipo , cuja antiderivada é:
No nosso caso, .

Passo 9

Aplicando a fórmula com :
Agora, vamos calcular de até :

Passo 10

Calculando no limite superior :
Calculando no limite inferior :
Então, a segunda integral vale .

Passo 11

Agora, juntando tudo:

Resposta

A área é igual a unidades quadradas.

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Classifique a integral .