A=integral0^2[(y+6)-(raiz4-y^2)] d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral definida que calcula a área entre duas funções no intervalo de até . O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo integral, especificamente integração de funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos precisar dividir a integral em partes mais simples e usar algumas fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
A = integral0^2 [(y + 6) - raiz4 - y^2] dy
Isso significa que vamos integrar a função de até .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
A = integral0^2 (y + 6) , dy - integral0^2 raiz4 - y^2 , dy
Agora, temos duas integrais mais simples para calcular.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^2 (y + 6) , dy
Isso pode ser dividido em:
integral0^2 y , dy + integral0^2 6 , dy
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando integral0^2 y , dy = [ 12 y^2 ]0^2 = 12(2)^2 - 12(0)^2 = 2 :
A integral de em relação a é .
Então,

Passo 6

Integrando integral0^2 6 , dy = [ 6y ]0^2 = 6(2) - 6(0) = 12 :
A integral de uma constante em relação a é .
Então,

Passo 7

Somando as duas partes integradas:
2 + 12 = 14
Então, a primeira parte da nossa integral vale .

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^2 raiz4 - y^2 , dy
Essa é a integral de uma função radical do tipo y2 raiza^2 - y^2 + a^22 arcsin(ya) + C , cuja antiderivada é:
No nosso caso, .

Passo 9

Aplicando a fórmula com integral raiz4 - y^2 , dy = y2 raiz4 - y^2 + 2 arcsin(y2) + C :
[ y2 raiz4 - y^2 + 2 arcsin(y2) ]0^2
Agora, vamos calcular de até :

Passo 10

Calculando no limite superior 22 raiz4 - (2)^2 + 2 arcsin(22) = 1 cdot 0 + 2 cdot pi2 = pi :
02 raiz4 - (0)^2 + 2 arcsin(02) = 0 + 0 = 0
Calculando no limite inferior :
Então, a segunda integral vale .

Passo 11

Agora, juntando tudo:
A = 14 - pi

Resposta

A área é igual a unidades quadradas.

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