A=2 integralpi^0 3 sin t(-3 sin t) d t-2 integralpi^0 3 sin t(-2 sin t) d t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão que define em termos de duas integrais definidas envolvendo funções seno. O assunto aqui é Cálculo Integral, especificamente o cálculo de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar calcular cada uma das integrais e, em seguida, substituir esses valores na expressão para encontrar o valor final de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as integrais. Observe que ambas as integrais têm os mesmos limites de integração, de integralpi^0 3 sin t (-3 sin t) dt = -integral0^pi 3 sin t (-3 sin t) dt a 0. Uma propriedade das integrais definidas é que integralpi^0 3 sin t (-2 sin t) dt = -integral0^pi 3 sin t (-2 sin t) dt . Vamos aplicar isso para trocar os limites e remover o sinal negativo:

Passo 3

Simplificando os sinais dentro das integrais:
- integral0^pi 3 sin t (-3 sin t) dt = integral0^pi 9 sin^2 t dt
- integral0^pi 3 sin t (-2 sin t) dt = integral0^pi 6 sin^2 t dt

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões de volta na fórmula original de A = 2 times integral0^pi 9 sin^2 t dt - 2 times integral0^pi 6 sin^2 t dt :

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Sabemos que:
integral sin^2 t dt = t2 - sin(2t)4 + C
Aplicando os limites de 0 a integral0^pi sin^2 t dt = [ pi2 - sin(2pi)4 ] - [ 0 - sin(0)4 ] = pi2 :

Passo 6

Agora, substituímos o valor da integral:
A = 2 times 9 times pi2 - 2 times 6 times pi2 = 9pi - 6pi = 3pi

Resposta

A = 3pi

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