Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Passo 1
Vamos começar resumindo a questão. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a Regra da Cadeia. A função dada é:
onde
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, que é usada quando uma função depende de outras funções que, por sua vez, dependem das variáveis de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Aqui, usamos a derivada da função seno e cosseno respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos das derivadas de
e
em relação a
e
:
Derivamos cada expressão usando as regras básicas de derivação.
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia para
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão para
:
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 7
Simplificando a expressão para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Mostre que uma equação linear
é exata se
.
Resolva as equações:
(e) . Sugestão: multiplique a equação por
.
(e)
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.