Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=sen x cos y, x=(s-t)^2, y=s^2-t^2

Passo 1

Vamos começar resumindo a questão. Precisamos encontrar as derivadas parciais de z = sin(x) cos(y) em relação a x = (s - t)^2 e y = s^2 - t^2 e usando a Regra da Cadeia. A função dada é:
onde
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, que é usada quando uma função depende de outras funções que, por sua vez, dependem das variáveis de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = cos(x) cos(y) em relação a partial zpartial y = -sin(x) sin(y) e :
Aqui, usamos a derivada da função seno e cosseno respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos das derivadas de partial xpartial s = 2(s - t) e partial xpartial t = -2(s - t) em relação a partial ypartial s = 2s e partial ypartial t = -2t :
Derivamos cada expressão usando as regras básicas de derivação.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia para partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s :
partial zpartial s = cos(x) cos(y) cdot 2(s - t) + (-sin(x) sin(y)) cdot 2s
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão para partial zpartial s = 2(s - t) cos(x) cos(y) - 2s sin(x) sin(y) :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :
partial zpartial t = cos(x) cos(y) cdot (-2(s - t)) + (-sin(x) sin(y)) cdot (-2t)
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 7

Simplificando a expressão para partial zpartial t = -2(s - t) cos(x) cos(y) + 2t sin(x) sin(y) :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2(s - t) cos(x) cos(y) - 2s sin(x) sin(y)
partial zpartial t = -2(s - t) cos(x) cos(y) + 2t sin(x) sin(y)

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