Mostre que uma equação linear
é exata se .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear do tipo:
O objetivo aqui é mostrar que essa equação é exata quando a derivada de em relação a , ou seja, , é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e verificar a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial é considerada exata se ela pode ser escrita como a derivada total de uma função potencial . Em outras palavras, existe uma função tal que:
onde:
Comparando com a nossa equação original:
Podemos reescrever essa equação como:
Assim, identificamos:

Passo 3

Para que a equação seja exata, a condição de exatidão deve ser satisfeita. Essa condição é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos :
Agora, calculemos :

Passo 4

Agora, para que a equação seja exata, devemos ter:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso mostra que a condição para a equação ser exata é exatamente , que é o que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, mostramos que a equação diferencial linear
é exata se .

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Use a Regra da Cadeia para determinar e .
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Resolva as equações:
(e) . Sugestão: multiplique a equação por .