Mostre que uma equação linear
é exata se
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear do tipo:
O objetivo aqui é mostrar que essa equação é exata quando a derivada de
em relação a
, ou seja,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e verificar a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial é considerada exata se ela pode ser escrita como a derivada total de uma função potencial
. Em outras palavras, existe uma função
tal que:
onde:
Comparando com a nossa equação original:
Podemos reescrever essa equação como:
Assim, identificamos:
Passo 3
Para que a equação seja exata, a condição de exatidão deve ser satisfeita. Essa condição é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos
:
Agora, calculemos
:
Passo 4
Agora, para que a equação seja exata, devemos ter:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso mostra que a condição para a equação ser exata é exatamente
, que é o que queríamos demonstrar.
Resposta
Portanto, mostramos que a equação diferencial linear
é exata se
.
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Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
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e
.
Resolva as equações:
(e) . Sugestão: multiplique a equação por
.
(e)