integral0^infty e^-k x d x, k>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral , onde . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais impróprias porque o limite de integração é infinito. Vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e aplicar limites para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função exponencial em relação a é dada por , onde é a constante de integração. No nosso caso, temos , então a antiderivada de é .

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 até integral0^infty e^-k x , dx = [ -1k e^-k x ]0^infty . Ou seja:
( -1k cdot 0 ) - ( -1k cdot 1 ) = 0 + 1k = 1k
Vamos calcular os limites:
  • Quando , porque a exponencial decresce para zero.
  • Quando , .
Substituindo esses valores:

Resposta

A integral é igual a .

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