integral0^pi integral1^2 y cos (x y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla:
integral0^pi integral1^2 y cos (x y) , dx , dy
Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a de 1 a 2, e depois em relação a de 0 a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a integração por partes.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a integral y cos(xy) , dx . A função que vamos integrar é integral y cos(u) cdot duy = integral cos(u) , du = sin(u) + C . Aqui, sin(xy) + C é tratado como uma constante em relação a .
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração de sin(xy) |1^2 = sin(2y) - sin(y) a :
Então, a integral em relação a resulta em .

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral0^pi ( sin(2y) - sin(y) ) , dy de 0 a integral0^pi sin(2y) , dy - integral0^pi sin(y) , dy :
Vamos separar as integrais:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral sin(2y) , dy = -12 cos(2y) + C
Segunda integral:
integral sin(y) , dy = -cos(y) + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Para -12 cos(2y) |0^pi = -12 cos(2pi) + 12 cos(0) = -12(1) + 12(1) = 0 :
-cos(y) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2
Para :

Passo 7

Agora, juntando os resultados:
0 - 2 = -2

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados