integral0^1 integralx^2^1 cos (x+y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral0^1 integralx^2^1 cos (x+y) , dy , dx. Esse exercício faz parte do cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a y. A função que vamos integrar é cos(x + y). A integral de cos(u) em relação a u é sin(u), então aplicamos isso aqui:
integral cos(x + y) , dy = sin(x + y) + C
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do C. Agora, vamos calcular de y = x^2 até y = 1:
sin(x + y) |y = x^2^y = 1 = sin(x + 1) - sin(x + x^2)

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a x. Então, nossa integral agora fica:
integral0^1 [ sin(x + 1) - sin(x + x^2) ] , dx
Vamos separar isso em duas integrais:
integral0^1 sin(x + 1) , dx - integral0^1 sin(x + x^2) , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral: integral0^1 sin(x + 1) , dx
Fazemos uma substituição simples: deixe u = x + 1, então du = dx. Os limites mudam para u = 1 quando x = 0 e u = 2 quando x = 1.
integral1^2 sin(u) , du = -cos(u) |1^2 = -cos(2) + cos(1)
Segunda integral: integral0^1 sin(x + x^2) , dx
Essa integral não tem uma solução elementar simples, então a deixaremos expressa assim.

Resposta

A integral vale -cos(2) + cos(1) - integral0^1 sin(x + x^2) , dx.

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