integral0^2 integral0^y(x^3+y^3) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me enviou: integral0^2 integral0^y(x^3+y^3) dx dy. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y, usando as regras de integração que você deve conhecer ou que vamos explicar juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integral0^y(x^3+y^3) dx. Aqui, estamos integrando em relação a x, e o y é tratado como uma constante durante essa etapa.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^y x^3 dx + integral0^y y^3 dx.

Passo 4

Integrando a primeira parte, integral x^3 dx, temos:
x^44.
Avaliado de 0 a y, fica:
y^44 - 0^44 = y^44.

Passo 5

Agora, integrando a segunda parte, integral y^3 dx, como y^3 é uma constante em relação a x, a integral fica:
y^3x.
Avaliado de 0 a y, resulta:
y^3 cdot y - y^3 cdot 0 = y^4.

Passo 6

Somando as duas partes integradas:
y^44 + y^4 = y^44 + 4y^44 = 5y^44.

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^2 5y^44 dy.
Podemos tirar a constante 54 para fora da integral:
54 integral0^2 y^4 dy.

Passo 8

Integrando y^4, temos:
y^55.
Avaliado de 0 a 2, fica:
2^55 - 0^55 = 325.

Passo 9

Multiplicando pela constante que tiramos antes:
54 cdot 325 = 324 = 8.

Resposta

O valor da integral dupla é 8.

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