integral0^1 integraly^1+y(x-y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me mandou:
integral0^1 integraly^1+y(x-y) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que ajudam a calcular áreas, volumes e outras coisas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integraly^1+y (x - y) , dx . Ela está definida de até . Então, temos:
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 3

Para integrar integraly^1+y x , dx - integraly^1+y y , dx em relação a , vamos separar a integral:
A primeira parte é a integral de , e a segunda é a integral de uma constante em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral x , dx = 12x^2
Avaliada de 12(1 + y)^2 - 12y^2 a , fica:

Passo 5

Agora, a segunda integral:
integral y , dx = yx
Avaliada de y(1 + y) - y(y) = y + y^2 - y^2 = y a , fica:

Passo 6

Subtraindo as duas partes que calculamos:
12(1 + 2y + y^2 - y^2) - y = 12(1 + 2y) - y = 12 + y - y = 12
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 7

Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 12 , dy de 0 a 1:
12 times (1 - 0) = 12
Como é uma constante, a integral fica:

Resposta

A resposta final da integral é .

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