integral0^1 integral0^1-x(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integral0^1-x(x^2+y^2) , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^1-x (x^2 + y^2) , dy :
Nesse caso, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^1-x x^2 , dy + integral0^1-x y^2 , dy
Para a primeira parte:
integral0^1-x x^2 , dy = x^2 cdot y |0^1-x = x^2(1 - x) - x^2(0) = x^2(1 - x)

Passo 4

Agora, para a segunda parte:
integral0^1-x y^2 , dy = y^33 |0^1-x = (1 - x)^33 - 0^33 = (1 - x)^33

Passo 5

Agora, somamos as duas partes:
x^2(1 - x) + (1 - x)^33
Esse é o resultado da integral interna. Agora, precisamos integrar isso em relação a de 0 a 1.

Passo 6

Vamos escrever a integral externa:
integral0^1 [ x^2(1 - x) + (1 - x)^33 ] , dx
Vamos separar em duas integrais:
integral0^1 x^2(1 - x) , dx + integral0^1 (1 - x)^33 , dx

Passo 7

Primeira integral:
integral0^1 x^2(1 - x) , dx = integral0^1 x^2 - x^3 , dx = ( x^33 - x^44 ) |0^1 = ( 13 - 14 ) = 112

Passo 8

Segunda integral:
integral0^1 (1 - x)^33 , dx = 13 integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Fazendo a substituição 13 integral0^1 u^3 , du = 13 cdot u^44 |0^1 = 13 cdot 14 = 112 , , os limites mudam de 1 a 0 para 0 a 1:

Passo 9

Finalmente, somamos as duas partes:
112 + 112 = 212 = 16

Resposta

O valor da integral é .

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