integral0^pi integral0^pi sin (x) cos (y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades básicas das integrais de funções trigonométricas e entender como separar a integral em partes que a gente consegue resolver mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que a função que estamos integrando, , é separável, ou seja, ela pode ser escrita como o produto de uma função só de e outra só de . Isso facilita bastante porque podemos separar a integral dupla em duas integrais simples.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dupla como o produto de duas integrais simples:
integral0^pi integral0^pi sin(x) cos(y) , dx , dy = ( integral0^pi sin(x) , dx ) times ( integral0^pi cos(y) , dy )

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, a integral de integral0^pi sin(x) , dx = -cos(x) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2 de 0 a integral0^pi cos(y) , dy = sin(y) |0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 :
Agora, a integral de de 0 a :

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais, temos . Portanto, o valor da integral dupla é 0.

Exercícios relacionados