integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y , dy , dx. Esse exercício envolve integrais múltiplas, mais especificamente integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e aplicar as propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a y:
integral0^ln 2 e^x+y , dy
Aqui, tratamos x como uma constante. A função e^x+y pode ser reescrita como e^x cdot e^y. A integral de e^y em relação a y é simplesmente e^y. Então, temos:
integral0^ln 2 e^x cdot e^y , dy = e^x integral0^ln 2 e^y , dy = e^x [ e^y ]0^ln 2
Avaliar os limites de integração:
e^x ( e^ln 2 - e^0 ) = e^x (2 - 1) = e^x cdot 1 = e^x

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^ln 3 e^x , dx
A integral de e^x em relação a x é e^x. Então:
integral0^ln 3 e^x , dx = [ e^x ]0^ln 3 = e^ln 3 - e^0 = 3 - 1 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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