Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
a)
, onde
é a região contida no círculo
.
a)
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é
, onde
é a região dentro do círculo
. Para resolver isso, vamos precisar converter a integral para coordenadas polares e usar fórmulas de integração nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares,
e
, onde
é a distância ao ponto (0,0) e
é o ângulo com o eixo positivo de
. A área diferencial
em coordenadas polares é dada por
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na função dentro da integral. Assim, a integral original fica:
Passo 4
Em seguida, definimos os limites de integração. Como
está dentro do círculo
, em coordenadas polares isso significa que
varia de 0 a 1, e
varia de 0 a
. Então, a integral passa a ser:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Isso fica:
Uma substituição útil aqui é
, então
ou
. Substituindo:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral dupla vale
.