Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
a) integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A, onde R é a região contida no círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer. A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é , onde é a região dentro do círculo . Para resolver isso, vamos precisar converter a integral para coordenadas polares e usar fórmulas de integração nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância ao ponto (0,0) e é o ângulo com o eixo positivo de . A área diferencial em coordenadas polares é dada por .

Passo 3

Agora, vamos substituir integral duplaR e^-r^2 , r , dr , dtheta por na função dentro da integral. Assim, a integral original fica:

Passo 4

Em seguida, definimos os limites de integração. Como integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 , r , dr , dtheta está dentro do círculo , em coordenadas polares isso significa que varia de 0 a 1, e varia de 0 a . Então, a integral passa a ser:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 e^-r^2 , r , dr . Isso fica:
-12 integral0^-1 e^u , du = 12 integral-1^0 e^u , du = 12 (e^0 - e^-1) = 12 (1 - e^-1)
Uma substituição útil aqui é , então ou . Substituindo:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 12 (1 - e^-1) , dtheta = 12 (1 - e^-1) times 2pi = pi (1 - e^-1)

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados