Sendo
e
funções dadas, nos itens abaixo, exiba a lei de associação de
e seus domínios, de cada item.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a função composta
e os respectivos domínios das funções
e
. A matéria envolvida aqui é funções compostas, especificamente envolvendo funções exponenciais e logarítmicas. Vamos precisar entender como compor as funções e quais valores de
são permitidos para cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa compor duas funções. A função composta
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica a função
no resultado de
. Em notação matemática, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir as funções
e
nas suas respectivas posições:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Aplicando essa propriedade:
Então, a função composta fica:
Passo 5
Agora, vamos determinar os domínios de
e
.
Para
:
A função exponencial está definida para todo número real
. Ou seja, o domínio de
é:
A função exponencial
Para
:
A função logarítmica está definida apenas para
. Portanto, o domínio de
é:
A função logarítmica
Passo 6
Quando compomos as funções, precisamos garantir que a saída de
esteja dentro do domínio de
. Como
sempre é positivo (
para todo
), estamos ok para aplicar
em
.
Portanto, o domínio da função composta
é o mesmo que o domínio de
:
Resposta
A lei de associação da função composta é
e os domínios são: