Sendo f e g funções dadas, nos itens abaixo, exiba a lei de associação de g(f) e seus domínios, de cada item.
f(x) = 2^x e g(x) = ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a função composta e os respectivos domínios das funções e . A matéria envolvida aqui é funções compostas, especificamente envolvendo funções exponenciais e logarítmicas. Vamos precisar entender como compor as funções e quais valores de são permitidos para cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa compor duas funções. A função composta significa que a gente aplica a função primeiro e depois aplica a função no resultado de . Em notação matemática, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções e nas suas respectivas posições:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Aplicando essa propriedade:
Então, a função composta fica:

Passo 5

Agora, vamos determinar os domínios de e .
Para :
A função exponencial está definida para todo número real . Ou seja, o domínio de é:
Para :
A função logarítmica está definida apenas para . Portanto, o domínio de é:

Passo 6

Quando compomos as funções, precisamos garantir que a saída de esteja dentro do domínio de . Como sempre é positivo ( para todo ), estamos ok para aplicar em .
Portanto, o domínio da função composta é o mesmo que o domínio de :

Resposta

A lei de associação da função composta é e os domínios são:

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