Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
a(x, y) = 4 x^6 y^2 + 5 x y - 6 x + raiz(7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais pontos do plano cartesiano a função é contínua. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de continuidade de funções de várias variáveis, e vamos precisar entender o que torna uma função contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Para funções de várias variáveis, como a nossa, isso quer dizer que não tem “buracos”, “saltos” ou “assíntotas” na região onde a função está definida.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa função . Vamos ver cada parte dela:
  • : É um polinômio, que é contínuo em todo o plano.
  • : Também é um polinômio, contínuo em todo lugar.
  • : Mais um termo polinomial, contínuo.
  • : É uma constante, e constantes são contínuas em todas as regiões.

Passo 4

Como cada termo da função é contínuo em todo o plano cartesiano, a soma desses termos (que é a nossa função ) também será contínua em todo o plano. Não existe nenhum valor de ou que faça a função “pular” ou ter algum problema de continuidade.

Passo 5

Então, a região de continuidade da função é todo o plano cartesiano. Isso significa que, para qualquer valor de e , a função está contínua.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano cartesiano .

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