Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais pontos do plano cartesiano a função
é contínua. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de continuidade de funções de várias variáveis, e vamos precisar entender o que torna uma função contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Para funções de várias variáveis, como a nossa, isso quer dizer que não tem “buracos”, “saltos” ou “assíntotas” na região onde a função está definida.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa função
. Vamos ver cada parte dela:
-
: É um polinômio, que é contínuo em todo o plano. -
: Também é um polinômio, contínuo em todo lugar. -
: Mais um termo polinomial, contínuo. -
: É uma constante, e constantes são contínuas em todas as regiões.
Passo 4
Como cada termo da função é contínuo em todo o plano cartesiano, a soma desses termos (que é a nossa função
) também será contínua em todo o plano. Não existe nenhum valor de
ou
que faça a função “pular” ou ter algum problema de continuidade.
Passo 5
Então, a região de continuidade da função
é todo o plano cartesiano. Isso significa que, para qualquer valor de
e
, a função está contínua.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano cartesiano
.