Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida de de até . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar como integrar a função tangente e aplicar a regra de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. A integral que temos é:
Podemos tirar o 6 de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral . Sabemos que a integral da tangente é:
Nesse caso, . Então, para fazer a substituição, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Voltando para :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de até :
Simplificando:

Passo 6

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:
Como :

Passo 7

Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
Então:

Resposta

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Resolva o problema de valor inicial
onde
O raio e intervalo de convergência da série de potências é:
e
Seja . Qual o domínio da função ?