Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida de
de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar como integrar a função tangente e aplicar a regra de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. A integral que temos é:
Podemos tirar o 6 de fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral
. Sabemos que a integral da tangente é:
Nesse caso,
. Então, para fazer a substituição, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
até
:
Simplificando:
Passo 6
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Como
:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
Então:
Resposta
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Resolva o problema de valor inicial
onde
O raio e intervalo de convergência da série de potências
é:
e
Seja
. Qual o domínio da função
?