integral0^pi / 12 6 tg 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida de de até . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar como integrar a função tangente e aplicar a regra de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. A integral que temos é:
integral0^pi / 12 6 tan(3x) , dx
Podemos tirar o 6 de fora da integral:
6 integral0^pi / 12 tan(3x) , dx

Passo 3

Agora, vamos focar na integral integral tan(u) , du = -ln|cos(u)| + C . Sabemos que a integral da tangente é:
du = 3 , dx Rightarrow dx = du3
Nesse caso, . Então, para fazer a substituição, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral tan(3x) , dx = integral tan(u) cdot du3 = 13 integral tan(u) , du = -13 ln|cos(u)| + C
Voltando para -13 ln|cos(3x)| + C :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 6 [ -13 ln|cos(3x)| ]0^pi / 12 até -2 [ ln|cos(3x)| ]0^pi / 12 :
Simplificando:

Passo 6

Calculando nos limites:
Para cos(3 cdot pi12) = cos(pi4) = raiz22 :
cos(0) = 1
Para -2 [ ln(raiz22) - ln(1) ] :
-2 ln(raiz22)
Então:
Como :

Passo 7

Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
raiz22 = 2^-1/2
Então:
-2 ln(2^-1/2) = -2 (-12 ln(2)) = ln(2)

Resposta

ln(2)

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