integralpi / 4^pi / 2 cotg t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de cotangente de no intervalo de até . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função cotangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a antiderivada da cotangente. Sabemos que:
integral cot(t) , dt = ln|sin(t)| + C
Aqui, é a constante de integração.

Passo 3

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que vamos calcular a diferença das antiderivadas nos limites superior e inferior da integral.

Passo 4

Aplicando a antiderivada nos limites:
ln|sin(pi2)| - ln|sin(pi4)|
Sabemos que:
sin(pi2) = 1 e sin(pi4) = raiz22
Então, substituindo:
ln(1) - ln(raiz22) = 0 - ln(raiz22)
Simplificando:
- ln(raiz22) = ln(2raiz2) = ln(raiz2) = 12 ln(2)

Resposta

12 ln(2)

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