Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de cotangente de no intervalo de até . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função cotangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a antiderivada da cotangente. Sabemos que:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 3

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que vamos calcular a diferença das antiderivadas nos limites superior e inferior da integral.

Passo 4

Aplicando a antiderivada nos limites:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Simplificando:

Resposta

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Resolva o problema de valor inicial
onde
O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de por , depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.
O raio e intervalo de convergência da série de potências é:
e