O raio e intervalo de convergência da série de potências é: e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos diz que, para uma série de potências da forma , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, o termo geral é .
Passo 3
Calculando o limite para encontrar R = limn to infty | (-1)^n3^n(-1)^n+13^n+1 | = limn to infty | (-1)^n cdot 3^n+1(-1)^n+1 cdot 3^n | = limn to infty | 3^n+13^n cdot (-1)^n(-1)^n+1 | :
R = limn to infty | 3 cdot (-1)^-1 | = | 3 cdot (-1)^-1 | = 3
Simplificando:
Portanto, o raio de convergência é 3.
Passo 4
Com o raio de convergência |x - 3| < 3 e sabendo que o centro da série é -3 < x - 3 < 3 implies 0 < x < 6 , podemos determinar o intervalo de convergência usando a inigualdade: