O raio e intervalo de convergência da série de potências é:
e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos diz que, para uma série de potências da forma , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, o termo geral é .

Passo 3

Calculando o limite para encontrar :
Simplificando:
Portanto, o raio de convergência é 3.

Passo 4

Com o raio de convergência e sabendo que o centro da série é , podemos determinar o intervalo de convergência usando a inigualdade:
Isso nos dá:
Assim, o intervalo de convergência é .

Resposta

e

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