O raio e intervalo de convergência da série de potências é: e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o teste da razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos diz que, para uma série de potências da forma , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, o termo geral é .
Passo 3
Calculando o limite para encontrar :
Simplificando:
Portanto, o raio de convergência é 3.
Passo 4
Com o raio de convergência e sabendo que o centro da série é , podemos determinar o intervalo de convergência usando a inigualdade: