integral0^3 pi / 2 cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais definidas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber qual é a antiderivada da função cosseno e como aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a antiderivada de integral cos(x) , dx = sin(x) + C é . Isso porque, ao derivar , voltamos a . Então, temos:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos utilizá-la apenas para encontrar a diferença entre os valores nos limites.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde integral0^3pi2 cos(x) , dx = sin(3pi2) - sin(0) é uma antiderivada de . No nosso caso, , e . Então, substituímos esses valores:

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. sin(3pi2) = -1 sin(0) = 0 : Sabemos que radianos corresponde a 270 graus, que está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico. O seno nesse ponto é .
  2. : O seno de 0 é 0.
Substituindo esses valores:

Passo 5

Agora, fazemos a subtração:
-1 - 0 = -1

Resposta

O valor da integral é .

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