integral2^-3(x-3)^3 d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral2^-3(x-3)^3 , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente ao cálculo de integrais definidas de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da potência para integração e entender como lidar com os limites de integração que estão invertidos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a integral está de 2 para -3, ou seja, o limite superior é menor que o limite inferior. Para facilitar, podemos inverter os limites de integração e mudar o sinal da integral:
integral2^-3(x-3)^3 , dx = -integral-3^2(x-3)^3 , dx

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de (x-3)^3. Para integrar uma função do tipo (x - a)^n, usamos a regra da potência:
integral (x - a)^n , dx = (x - a)^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. Aplicando isso à nossa função:
integral (x - 3)^3 , dx = (x - 3)^44 + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de -3 a 2 na antiderivada encontrada:
[ (x - 3)^44 ]-3^2 = (2 - 3)^44 - (-3 - 3)^44
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
= (-1)^44 - (-6)^44
Calculando as potências:
= 14 - 12964
Subtraindo os valores:
= 1 - 12964 = -12954

Resposta

A integral definida integral2^-3(x-3)^3 , dx é igual a -dfrac12954.

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