integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^sec phi(rho cos phi) rho^2 sen phi d rho d phi d theta

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o seguinte exercício de cálculo integral:
integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^sec phi (rho cos phi) rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Conteúdo da Matéria:
  • Coordenadas Esféricas: Um sistema de coordenadas onde um ponto no espaço é definido por três parâmetros: raio , ângulo polar e ângulo azimutal .
  • Integrais Triplas: Cálculo de volumes ou outras grandezas em três dimensões usando integrais.
  • Transformação de Coordenadas: Mudança de coordenadas cartesianas para esféricas para facilitar a resolução de integrais.
O que Vamos Precisar:
  1. Entender a fórmula da integral em coordenadas esféricas.
  2. Saber como integrar funções envolvendo , e .
  3. Aplicar técnicas de substituição para resolver integrais mais complexas.

Passo 2

Entendendo a Integral em Coordenadas Esféricas
A integral dada está em coordenadas esféricas. Na coordenada esférica, o elemento de volume dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta é dado por:
integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^sec phi (rho cos phi) rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Então, a integral que temos é:
x = rho sin phi cos theta
Aqui, provavelmente representa a coordenada em coordenadas cartesianas, já que:
Mas, de qualquer forma, vamos focar na estrutura da integral.

Passo 3

Separando as Variáveis da Integral
Podemos reescrever a integral separando os diferentes componentes:
integral0^2 pi dtheta integral0^pi / 4 cos phi sin phi integral0^sec phi rho^3 , drho , dphi
Explicação:
  • Separar os termos que dependem de , e facilita a resolução.
  • A integral mais interna é em relação a , seguida pela , e finalmente .

Passo 4

Resolvendo a Integral Mais Interna ( integral0^sec phi rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^sec phi = (sec phi)^44 )
Vamos calcular a integral em relação a :
Explicação:
  • A integral de em relação a é .
  • Avaliamos essa expressão nos limites de 0 a .

Passo 5

Substituindo de Volta na Integral
Agora, substituímos o resultado na integral:
integral0^2 pi dtheta integral0^pi / 4 cos phi sin phi cdot (sec phi)^44 , dphi
Simplificando, sabemos que (sec phi)^4 = 1cos^4 phi , então:
integral0^2 pi dtheta integral0^pi / 4 cos phi sin phi4 cos^4 phi , dphi = integral0^2 pi dtheta integral0^pi / 4 sin phi4 cos^3 phi , dphi
Portanto, a expressão fica:

Passo 6

Resolvendo a Integral em Relação a integral0^pi / 4 sin phi4 cos^3 phi , dphi
Vamos resolver a integral:
u = cos phi Rightarrow du = -sin phi , dphi
Substituição:
Vamos usar a substituição:
integral1^raiz22 -14 u^3 , du = 14 integralraiz22^1 1u^3 , du
Quando 14 [ -12 u^2 ]raiz22^1 = 14 ( -12 + 1( raiz22 )^2 cdot 12 ) , ( raiz22 )^2 = 24 = 12 Rightarrow 1( raiz22 )^2 = 2 .
Quando 14 ( -12 + 22 ) = 14 ( -12 + 1 ) = 14 cdot 12 = 18 , .
Substituindo na integral:
Integrando:
Calculando:
Portanto:

Passo 7

Resolvendo a Integral em Relação a integral0^2 pi dtheta cdot 18 = 18 cdot [ theta ]0^2pi = 18 cdot 2pi = pi4
Agora, temos:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Marque a opção que indica todas as assíntotas do gráfico de f(x) = 2/(x-5) + 1/(x-2) :
(a) Assíntotas verticais: x = 5 e x = 2; assíntota horizontal: y = 0.
(b) Assíntotas verticais: x = -5 e x = 2; assíntotas horizontais: y = 2 e y = 1.
© Assíntotas verticais: x = 1 e x = 2; assíntota horizontal: y = 5.
(d) Assíntotas verticais: x = 0; assíntota horizontal: y = 5 e y = 2.
Se f(x)=2 x^2-4 x+2x-4 x^2 o valor de lim x +infty f(x) é:
(a) -12.
(b) 2 .
© -1 .
(d) 12.
O valor de lim x 0 raiz9-x-raiz9+xx^2+x é:
(a) -13.
(b) -3 .
© -12.
(d) -1
Para quais valores de a e b a reta 3x + y = b é tangente à parábola y = a x^2 quando x = 3 / 2.
(a) a=-1, b=9/4.
(b) a = 1, b = 9 / 2.
© a = -1, b = -9/4.
(d) a = 1, b = -9 / 2.