Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o seguinte exercício de cálculo integral:
Conteúdo da Matéria:
- Coordenadas Esféricas: Um sistema de coordenadas onde um ponto no espaço é definido por três parâmetros: raio
, ângulo polar e ângulo azimutal . - Integrais Triplas: Cálculo de volumes ou outras grandezas em três dimensões usando integrais.
- Transformação de Coordenadas: Mudança de coordenadas cartesianas para esféricas para facilitar a resolução de integrais.
O que Vamos Precisar:
- Entender a fórmula da integral em coordenadas esféricas.
- Saber como integrar funções envolvendo
, e . - Aplicar técnicas de substituição para resolver integrais mais complexas.
Passo 2
Entendendo a Integral em Coordenadas Esféricas
A integral dada está em coordenadas esféricas. Na coordenada esférica, o elemento de volume
é dado por:
Então, a integral que temos é:
Aqui,
provavelmente representa a coordenada
em coordenadas cartesianas, já que:
Mas, de qualquer forma, vamos focar na estrutura da integral.
Passo 3
Separando as Variáveis da Integral
Podemos reescrever a integral separando os diferentes componentes:
Explicação:
- Separar os termos que dependem de
, e facilita a resolução. - A integral mais interna é em relação a
, seguida pela , e finalmente .
Passo 4
Resolvendo a Integral Mais Interna (
)
Vamos calcular a integral em relação a
:
Explicação:
- A integral de
em relação a é . - Avaliamos essa expressão nos limites de 0 a
.
Passo 5
Substituindo de Volta na Integral
Agora, substituímos o resultado na integral:
Simplificando, sabemos que
, então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Resolvendo a Integral em Relação a
Vamos resolver a integral:
Substituição:
Vamos usar a substituição:
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Calculando:
Portanto:
Passo 7
Resolvendo a Integral em Relação a
integral0^2 pi dtheta cdot 18 = 18 cdot [ theta ]0^2pi = 18 cdot 2pi = pi4
Agora, temos:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Marque a opção que indica todas as assíntotas do gráfico de
f(x) = 2/(x-5) + 1/(x-2) :
(a) Assíntotas verticais:x = 5 e
x = 2 ; assíntota horizontal:
y = 0 .
(b) Assíntotas verticais:x = -5 e
x = 2 ; assíntotas horizontais:
y = 2 e
y = 1 .
© Assíntotas verticais:x = 1 e
x = 2 ; assíntota horizontal:
y = 5 .
(d) Assíntotas verticais:x = 0 ; assíntota horizontal:
y = 5 e
y = 2 .
(a) Assíntotas verticais:
(b) Assíntotas verticais:
© Assíntotas verticais:
(d) Assíntotas verticais:
Se
f(x)=2 x^2-4 x+2x-4 x^2 o valor de
lim x +infty f(x) é:
(a)-12 .
(b) 2 .
© -1 .
(d)12 .
(a)
(b) 2 .
© -1 .
(d)
O valor de
lim x 0 raiz9-x-raiz9+xx^2+x é:
(a)-13 .
(b) -3 .
©-12 .
(d) -1
(a)
(b) -3 .
©
(d) -1
Para quais valores de
a e
b a reta
3x + y = b é tangente à parábola
y = a x^2 quando
x = 3 / 2 .
(a)a=-1, b=9/4 .
(b)a = 1, b = 9 / 2 .
©a = -1, b = -9/4 .
(d)a = 1, b = -9 / 2 .
(a)
(b)
©
(d)