integral0^pi / 3 2 sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza! Vamos lá: você tem a integral definida integral0^pi / 3 2 sec^2 x , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a antiderivada da função sec^2 x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a antiderivada da função sec^2 x. Sabemos que a derivada de tan x é sec^2 x, ou seja:
ddx (tan x) = sec^2 x
Então, a antiderivada de sec^2 x é tan x.

Passo 3

Agora, aplicando essa antiderivada à nossa integral, temos:
integral 2 sec^2 x , dx = 2 integral sec^2 x , dx = 2 tan x + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos trabalhando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C.

Passo 4

Vamos agora calcular o valor da integral definida, avaliando a antiderivada nos limites de integração, que são de 0 a pi/3:
2 tan x g|0^pi/3 = 2 tan(pi3) - 2 tan(0)

Passo 5

Sabemos que tan(pi3) = raiz3 e tan(0) = 0. Substituindo esses valores:
2 cdot raiz3 - 2 cdot 0 = 2raiz3

Resposta

O valor da integral é 2raiz3.

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