integral0^pi / 3 tan (x) sec (x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de integração de funções trigonométricas e algumas técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções tan(x) = sin(x)cos(x) e sec(x) = 1cos(x) e integral tan(x) sec(x) , dx = integral sin(x)cos^2(x) , dx . Sabemos que:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
u = sec(x) = 1cos(x)
Então, precisamos encontrar du = sec(x) tan(x) , dx . Derivando em relação a :
Notamos que o nosso integrando original está presente nessa expressão, então podemos substituir diretamente.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral tan(x) sec(x) , dx = integral du = u + C
Agora, voltamos à variável original u = sec(x) implies integral tan(x) sec(x) , dx = sec(x) + C :

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a integral0^pi / 3 tan (x) sec (x) , dx = [ sec(x) ]0^pi/3 = sec(pi3) - sec(0) , vamos aplicar os limites de integração à antiderivada que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores de sec(pi3) = 1cos(pi3) = 112 = 2 e sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1 :

Resposta

Substituindo os valores, temos:
integral0^pi / 3 tan (x) sec (x) , dx = 2 - 1 = 1

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