integral1^2 t^2 raizt^3+1 d t;

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição adequada que simplifica a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para tornar a integral mais simples. Observamos que o termo está dentro da raiz quadrada e é derivado pelo termo que está multiplicando. Isso sugere que podemos usar uma substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = t^3 + 1 como sendo a expressão dentro da raiz:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de dudt = 3t^2 em relação a du = 3t^2 , dt Rightarrow t^2 , dt = du3 :
Isso significa que:

Passo 5

Substituímos integral1^2 t^2 raizt^3+1 , dt = integral raizu cdot du3 e 13 integral raizu , du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C em relação a 13 integral raizu , du = 13 cdot 23 u^3/2 = 29 u^3/2 + C :
Portanto,

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original 29 u^3/2 = 29 (t^3 + 1)^3/2 substituindo :

Passo 8

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ 29 (t^3 + 1)^3/2 ]1^2 = 29 ( (2^3 + 1)^3/2 - (1^3 + 1)^3/2 )
Calculando os valores:
2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 Rightarrow 9^3/2 = 27
1^3 + 1 = 1 + 1 = 2 Rightarrow 2^3/2 = 2raiz2
Portanto:
29 (27 - 2raiz2) = 549 - 4raiz29 = 6 - 4raiz29

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados