integral0^1 z(2 z^2-5)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem a integral definida:
integral0^1 z(2 z^2-5)^3 , dz
Aqui, estamos trabalhando com integrais, que fazem parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, também conhecida como troca de variável. Basicamente, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para tornar a integral mais simples. Olhando para o denominador, temos u = 2z^2 - 5 . Vamos chamar isso de dudz = 4z Rightarrow dz = du4z :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :

Passo 3

Vamos substituir integral zu^3 cdot du4z = 14 integral 1u^3 , du e na integral original:
Note que os se cancelaram, o que simplifica bastante a expressão!

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1) em relação a 14 integral u^-3 , du = 14 cdot u^-2-2 + C = -18 u^-2 + C . Lembrando que:
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original -18 u^-2 = -18 (2z^2 - 5)^-2 substituindo de volta:

Passo 6

Como a integral é definida de 0 a 1, vamos calcular os limites após a substituição:
Quando u = 2(0)^2 - 5 = -5 :
u = 2(1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3
Quando :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites na expressão integrada:
-18 (2z^2 - 5)^-2 |0^1 = -18 [(2(1)^2 - 5)^-2 - (2(0)^2 - 5)^-2]
Simplificando:
-18 [(-3)^-2 - (-5)^-2] = -18 [19 - 125]

Passo 8

Vamos calcular a diferença dentro dos colchetes:
19 - 125 = 25 - 9225 = 16225
Então:
-18 cdot 16225 = -161800 = -2225

Resposta

A integral é igual a .

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