integral2^4 raiz2 x-4 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral2^4 raiz2x - 4 , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir, simplificando assim a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir u = 2x - 4. Isso nos ajudará a transformar a integral em algo mais fácil de calcular.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du. Se u = 2x - 4, então a derivada de u em relação a x é du/dx = 2. Portanto, podemos escrever dx em termos de du:
dx = du2

Passo 4

Precisamos também ajustar os limites da integral para a nova variável u. Quando x = 2:
u = 2(2) - 4 = 0
E quando x = 4:
u = 2(4) - 4 = 4
Então, os novos limites de integração são de u = 0 a u = 4.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original em termos de u utilizando a substituição feita:
integral2^4 raiz2x - 4 , dx = integral0^4 raizu cdot du2 = 12 integral0^4 u^1/2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2. A integral de u^n é u^n+1n+1, então para n = 12:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2

Passo 7

Multiplicamos o resultado da integral por 12, conforme a substituição:
12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de u = 4 e u = 0:
13 (4^3/2 - 0^3/2) = 13 (8 - 0) = 83

Resposta

O valor da integral é 83.

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