integral0^pi / 3 tan (x) sec (x) d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas. Sabemos que:
tan(x) = sin(x)cos(x) e sec(x) = 1cos(x)
Portanto, podemos reescrever o integrando:
tan(x) sec(x) = sin(x)cos(x) cdot 1cos(x) = sin(x)cos^2(x)

Passo 3

Agora, observamos que a função ddx sec(x) = sec(x) tan(x) se assemelha a uma derivada conhecida. Sabemos que a derivada de é:
Mas queremos integrar , que é exatamente essa derivada. Isso sugere que a função primitiva de é .

Passo 4

Com essa informação, podemos escrever a integral indefinida:
integral tan(x) sec(x) , dx = sec(x) + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Como estamos tratando de uma integral definida de 0 a integral0^pi / 3 tan(x) sec(x) , dx = [ sec(x) ]0^pi/3 , aplicamos os limites de integração à primitiva encontrada:

Passo 6

Agora, vamos calcular sec(pi3) = 1cos(pi3) = 112 = 2 nos limites superior e inferior:
sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1

Passo 7

Finalmente, subtraímos os valores encontrados:
[ sec(x) ]0^pi/3 = sec(pi3) - sec(0) = 2 - 1 = 1

Resposta

O valor da integral é .

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