Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
sumn=1^infty 210^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa analisar a série sumn=1^infty 210^n para ver se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries com uma razão constante entre os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty a cdot r^n
onde:
  • sumn=1^infty 210^n é o primeiro termo da série.
  • 2 sumn=1^infty (110)^n é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica, a condição para convergência é que o valor absoluto da razão |r| < 1 seja menor que 1:
| 110 | = 110 < 1
No nosso caso, , então:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Como a s��rie converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma S = a1 - r de uma série geométrica infinita é:
S = 1101 - 110 = 110910 = 19
Substituindo os valores que temos:
2 cdot 19 = 29
Mas lembre-se que inicialmente tínhamos um fator de 2 multiplicando a série:

Resposta

A série sumn=1^infty 210^n converge e sua soma é 29.

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