Seja
dada por
. A superfície
obtida pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
é chamada de Trombeta de Gabriel. Explique o paradoxo:
Passo 1
Vamos olhar o que a questão nos pede. Temos a função
definida para
. Quando giramos o gráfico dessa função em torno do eixo
, obtemos uma superfície chamada Trombeta de Gabriel. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o estudo de volumes e áreas de superfícies de revolução. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular tanto o volume quanto a área da superfície da Trombeta de Gabriel e entender o que torna isso paradoxal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um sólido de revolução. Usamos a fórmula do Método dos Discos, que para uma função
girada em torno do eixo
é dada por:
No nosso caso,
,
e
tende ao infinito.
Passo 3
Calculando o volume:
Sabemos que a integral de
de 1 ao infinito converge e é igual a:
Então, o volume da Trombeta de Gabriel é finito, igual a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução. Usamos a fórmula:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Então,
Passo 5
Agora, analisamos a integral para a área:
Sabemos que
diverge, ou seja, tende ao infinito. Portanto, a área da superfície também é infinita.
Passo 6
Chegamos aos resultados:
- Volume da Trombeta de Gabriel:
(finito) - Área da superfície: infinito
Isso é o que torna esse caso paradoxal: a Trombeta de Gabriel ocupa um volume finito, mas sua superfície é infinita.
Resposta
O paradoxo da Trombeta de Gabriel ocorre porque, apesar de seu volume ser finito e igual a
, a área da superfície é infinita, mostrando que é possível ter uma forma que ocupa espaço limitado mas possui uma área de superfície ilimitada.
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Seja
uma função tal que
e
. Mostre que
.