Seja dada por . A superfície obtida pela rotação do gráfico de em torno do eixo é chamada de Trombeta de Gabriel. Explique o paradoxo:

Passo 1

Vamos olhar o que a questão nos pede. Temos a função definida para . Quando giramos o gráfico dessa função em torno do eixo , obtemos uma superfície chamada Trombeta de Gabriel. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente o estudo de volumes e áreas de superfícies de revolução. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular tanto o volume quanto a área da superfície da Trombeta de Gabriel e entender o que torna isso paradoxal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um sólido de revolução. Usamos a fórmula do Método dos Discos, que para uma função girada em torno do eixo é dada por:
No nosso caso, , e tende ao infinito.

Passo 3

Calculando o volume:
Sabemos que a integral de de 1 ao infinito converge e é igual a:
Então, o volume da Trombeta de Gabriel é finito, igual a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução. Usamos a fórmula:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Então,

Passo 5

Agora, analisamos a integral para a área:
Sabemos que diverge, ou seja, tende ao infinito. Portanto, a área da superfície também é infinita.

Passo 6

Chegamos aos resultados:
  • Volume da Trombeta de Gabriel: (finito)
  • Área da superfície: infinito
Isso é o que torna esse caso paradoxal: a Trombeta de Gabriel ocupa um volume finito, mas sua superfície é infinita.

Resposta

O paradoxo da Trombeta de Gabriel ocorre porque, apesar de seu volume ser finito e igual a , a área da superfície é infinita, mostrando que é possível ter uma forma que ocupa espaço limitado mas possui uma área de superfície ilimitada.

Exercícios relacionados

Seja uma função tal que e . Mostre que .