Seja
uma função tal que
e
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função
que satisfaz
e cuja derivada é
para todo
real. O objetivo é mostrar que para todo
,
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com funções deriváveis e integrais. Vamos precisar usar a definição de derivada e integrar a função derivada para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão de
integrando a derivada
.
Sabemos que:
Como
, temos:
Passo 3
Vamos resolver a integral
.
Podemos simplificar a fração:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular as integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos analisar os limites para
.
Sabemos que para
:
Portanto:
Como
, para
,
.
Além disso, como
para
(pois
cresce mais lentamente que
), temos:
Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
,
.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. A superfície
obtida pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
é chamada de Trombeta de Gabriel. Explique o paradoxo:
Mostre que sen
.
(Sugestão: para , use propriedades da trigonometria, para
, use derivada)
(Sugestão: para