Seja uma função tal que e . Mostre que .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função que satisfaz e cuja derivada é para todo real. O objetivo é mostrar que para todo , .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com funções deriváveis e integrais. Vamos precisar usar a definição de derivada e integrar a função derivada para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão de integrando a derivada .
Sabemos que:
Como , temos:

Passo 3

Vamos resolver a integral .
Podemos simplificar a fração:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular as integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Então:

Passo 5

Agora que temos , vamos analisar os limites para .
Sabemos que para :
Portanto:
Como , para , .
Além disso, como para (pois cresce mais lentamente que ), temos:
Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , .

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Seja dada por . A superfície obtida pela rotação do gráfico de em torno do eixo é chamada de Trombeta de Gabriel. Explique o paradoxo:
Mostre que sen .
(Sugestão: para , use propriedades da trigonometria, para , use derivada)