(2,5 pontos) Calcule a integral integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A, onde R é a regiào do primeiro quadrante entre os circulos na origem e raios 1 e 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante entre dois círculos com raios 1 e 4, ambos centrados na origem. Para isso, vamos usar o cálculo em coordenadas polares, que é super útil quando a região de integração é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas x = r cos(theta) y = r sin(theta) para coordenadas polares dA = r , dr , dtheta :
E a área diferencial em coordenadas polares fica:
Isso porque a área em polares leva em conta o raio e o ângulo .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como a região está no primeiro quadrante e entre os círculos de raio 1 e 4:
  • O raio varia de 1 a 4.
  • O ângulo varia de 0 a (90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares usando esses limites:
integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A = integral0^pi2 integral1^4 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Note que substituímos por .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a integral interna em relação a integral1^4 e^-r^2 cdot r , dr :
u = -r^2 du = -2r , dr Rightarrow -12 du = r , dr
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples:
-12 integralu(1)^u(4) e^u , du = -12 [ e^u ]-1^-16 = -12 ( e^-16 - e^-1 ) = 12 ( e^-1 - e^-16 )
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^pi2 12 ( e^-1 - e^-16 ) dtheta = 12 ( e^-1 - e^-16 ) integral0^pi2 dtheta
A integral de de 0 a é simplesmente .

Passo 7

Multiplicando tudo, temos:
12 ( e^-1 - e^-16 ) cdot pi2 = pi4 ( e^-1 - e^-16 )

Resposta

A integral é igual a .

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