(2,5 pontos) Calcule a integral
, onde
é a regiào do primeiro quadrante entre os circulos na origem e raios 1 e 4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante entre dois círculos com raios 1 e 4, ambos centrados na origem. Para isso, vamos usar o cálculo em coordenadas polares, que é super útil quando a região de integração é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
E a área diferencial
em coordenadas polares fica:
Isso porque a área em polares leva em conta o raio
e o ângulo
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como a região
está no primeiro quadrante e entre os círculos de raio 1 e 4:
- O raio
varia de 1 a 4. - O ângulo
varia de 0 a (90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas polares usando esses limites:
Note que substituímos
por
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a integral interna em relação a
:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
A integral de
de 0 a
é simplesmente
.
Passo 7
Multiplicando tudo, temos:
Resposta
A integral
é igual a
.