Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de em relação a . Vamos usar a técnica de integração por partes para resolver isso. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que iremos derivar e outra que iremos integrar.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é dada por:
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
  • (porque sua derivada vai simplificar o grau do polinômio)
  • (porque sua integral é direta)

Passo 4

Agora, vamos derivar e integrar :
  • (derivada de )
  • (integrando em relação a )

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, precisamos calcular a nova integral usando novamente a integração por partes.

Passo 7

Para a nova integral, vamos escolher:
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 8

Agora, precisamos calcular . Vamos aplicar integração por partes mais uma vez.
Escolhendo:
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 9

Voltando ao Passo 7, substituímos a integral que acabamos de calcular:

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão no Passo 5:
Simplificando:

Resposta

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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes: