Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x^3 e^-x / 3 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de em relação a . Vamos usar a técnica de integração por partes para resolver isso. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que iremos derivar e outra que iremos integrar.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é dada por:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
  • (porque sua derivada vai simplificar o grau do polinômio)
  • (porque sua integral é direta)

Passo 4

Agora, vamos derivar e integrar :
  • (derivada de )
  • (integrando em relação a )

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3 e^-x / 3 dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x^3 (-3 e^-x / 3) - integral (-3 e^-x / 3) (3x^2) dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
= -3 x^3 e^-x / 3 + 9 integral x^2 e^-x / 3 dx
Agora, precisamos calcular a nova integral usando novamente a integração por partes.

Passo 7

Para a nova integral, vamos escolher:
  • integral x^2 e^-x / 3 dx = x^2 (-3 e^-x / 3) - integral (-3 e^-x / 3) (2x) dx
  • = -3 x^2 e^-x / 3 + 6 integral x e^-x / 3 dx
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 8

Agora, precisamos calcular integral x e^-x / 3 dx = x (-3 e^-x / 3) - integral (-3 e^-x / 3) dx . Vamos aplicar integração por partes mais uma vez.
Escolhendo:
  • = -3 x e^-x / 3 + 3 integral e^-x / 3 dx = -3 x e^-x / 3 - 9 e^-x / 3
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 9

Voltando ao Passo 7, substituímos a integral que acabamos de calcular:
integral x^2 e^-x / 3 dx = -3 x^2 e^-x / 3 + 6 (-3 x e^-x / 3 - 9 e^-x / 3) = -3 x^2 e^-x / 3 - 18 x e^-x / 3 - 54 e^-x / 3

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão no Passo 5:
integral x^3 e^-x / 3 dx = -3 x^3 e^-x / 3 + 9 (-3 x^2 e^-x / 3 - 18 x e^-x / 3 - 54 e^-x / 3)
Simplificando:
= -3 x^3 e^-x / 3 - 27 x^2 e^-x / 3 - 162 x e^-x / 3 - 486 e^-x / 3 + C

Resposta

integral x^3 e^-x / 3 dx = -3 e^-x / 3 (x^3 + 9 x^2 + 54 x + 162) + C

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