Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar a técnica de integração por partes para resolver isso. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que iremos derivar e outra que iremos integrar.
Passo 2
A fórmula de integração por partes é dada por:
Aqui, precisamos escolher
e
de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos escolher:
-
(porque sua derivada vai simplificar o grau do polinômio) -
(porque sua integral é direta)
Passo 4
Agora, vamos derivar
e integrar
:
-
(derivada de ) -
(integrando em relação a )
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos calcular a nova integral
usando novamente a integração por partes.
Passo 7
Para a nova integral, vamos escolher:
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos calcular
. Vamos aplicar integração por partes mais uma vez.
Escolhendo:
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 9
Voltando ao Passo 7, substituímos a integral que acabamos de calcular:
Passo 10
Agora, substituímos essa expressão no Passo 5:
Simplificando:
Resposta
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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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