integral0^2 x^3-3 x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, a gente vai precisar usar o cálculo integral, mais especificamente, a ideia de encontrar a antiderivada da função que está dentro da integral. Basicamente, vamos descobrir uma função que, quando derivada, dá , e depois avaliar essa função nos limites de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo da função:
  1. A antiderivada de x^44 - x^3 + x é , porque, ao derivar , a gente traz o expoente 4 para multiplicar, ficando .
  2. A antiderivada de é , já que ao derivar , multiplicamos por 3 e obtemos .
  3. A antiderivada de é , porque a derivada de é 1.
Então, juntando tudo, a antiderivada da função é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que para calcular a integral definida, a gente avalia a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrai:
Primeiro, avaliamos em 2^44 - 2^3 + 2 = 164 - 8 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 :
0^44 - 0^3 + 0 = 0 - 0 + 0 = 0
Depois, avaliamos em -2 - 0 = -2 :
Agora, subtraímos os resultados:

Resposta

O valor da integral é .

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