Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são úteis para calcular áreas, volumes e outras quantidades em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, aquela que está em relação a
:
Para simplificar essa integral, podemos usar uma troca de variável (substituição). Observe que o termo
multiplicando o exponencial sugere uma substituição útil.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Perceba que
aparece exatamente na nossa integral, o que simplifica muito as coisas. Então, a integral interna fica:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, onde
é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 4
Voltando para as variáveis originais
e
, temos:
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver essa última integral:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Aplicando os limites de integração:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Ache, para os valores dados entre parênteses,
e
.
Use a aproximação linear
para estimar os seguintes valores
. Dica: Use
e
na fórmula de aproximação linear do enunciado.
Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.