Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são úteis para calcular áreas, volumes e outras quantidades em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, aquela que está em relação a :
Para simplificar essa integral, podemos usar uma troca de variável (substituição). Observe que o termo multiplicando o exponencial sugere uma substituição útil.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Perceba que aparece exatamente na nossa integral, o que simplifica muito as coisas. Então, a integral interna fica:
A integral de em relação a é simplesmente , onde é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 4

Voltando para as variáveis originais e , temos:
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a :

Passo 5

Vamos resolver essa última integral:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Ache, para os valores dados entre parênteses, e .
Use a aproximação linear para estimar os seguintes valores
. Dica: Use e na fórmula de aproximação linear do enunciado.
Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.