integral0^2 integral0^1 2 x y e^x^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado é:
integral0^2 integral0^1 2 x y e^x^2 y , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são úteis para calcular áreas, volumes e outras quantidades em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, aquela que está em relação a integral0^1 2 x y e^x^2 y , dx :
Para simplificar essa integral, podemos usar uma troca de variável (substituição). Observe que o termo multiplicando o exponencial sugere uma substituição útil.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = x^2 y
Agora, calculamos a derivada de dudx = 2x y Rightarrow du = 2x y , dx em relação a integral e^u , du :
Perceba que aparece exatamente na nossa integral, o que simplifica muito as coisas. Então, a integral interna fica:
A integral de em relação a é simplesmente , onde é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 4

Voltando para as variáveis originais integral0^1 2 x y e^x^2 y , dx = [ e^x^2 y ]0^1 = e^1 cdot y - e^0 = e^y - 1 e integral0^2 (e^y - 1) , dy , temos:
Agora, nossa integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a :

Passo 5

Vamos resolver essa última integral:
integral0^2 e^y , dy - integral0^2 1 , dy
A integral de [ e^y ]0^2 - [ y ]0^2 = (e^2 - e^0) - (2 - 0) = e^2 - 1 - 2 = e^2 - 3 em relação a é , e a integral de em relação a é . Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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