integral0^1 integral0^2 e^x+3 raizy d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral0^1 integral0^2 e^x + 3 raizy , dx , dy. Esse exercício está relacionado à matéria de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em duas variáveis, ou seja, primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a integral0^2 e^x + 3 raizy , dx :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^2 e^x , dx + integral0^2 3 raizy , dx
Isso utiliza a propriedade da linearidade das integrais, que permite separar a integral de uma soma em soma das integrais.

Passo 4

Agora, integramos cada parte:

  1. Aqui, como não depende de , ele sai da integral.

Passo 5

Agora, substituímos os resultados na integral externa:
integral0^1 ( e^2 - 1 + 6 raizy ) dy
Simplificamos a expressão dentro da integral somando os termos constantes.

Passo 6

Integramos cada termo separadamente em relação a :

Passo 7

Finalmente, somamos os resultados obtidos das integrais:
(e^2 - 1) + 4 = e^2 + 3

Resposta

O valor da integral dupla é .

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