Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral ln (x) d xx^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da integral será (que vamos derivar) e qual será (que vamos integrar).

Passo 2

Primeiro, escolhemos u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx . Isso porque a derivada de é mais simples de trabalhar. Então, temos:

Passo 3

Agora, definimos dv = 1x^3 , dx Rightarrow v = integral 1x^3 , dx = integral x^-3 , dx = -12x^2 . Para encontrar , precisamos integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x)x^3 , dx = ln(x) cdot ( -12x^2 ) - integral ( -12x^2 ) cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
-ln(x)2x^2 - integral ( -12x^3 ) , dx = -ln(x)2x^2 + 12 integral 1x^3 , dx

Passo 6

Calculando a integral restante:
12 integral 1x^3 , dx = 12 cdot ( -12x^2 ) = -14x^2

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral ln(x)x^3 , dx = -ln(x)2x^2 - 14x^2 + C

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