integral1^2 integral0^1 2 x y e^x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é uma constante porque a integração está sendo feita em relação a .

Passo 3

Para integrar em relação a , podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é . Vamos escolher:
  • (porque sua derivada é simples)
  • (a integral de é direta)

Passo 4

Calculando integral 2 x y e^x , dx = 2 x y e^x - integral 2 y e^x , dx e :
Agora aplicamos a fórmula:

Passo 5

Integrando integral 2 x y e^x , dx = 2 x y e^x - 2 y e^x = 2 y e^x (x - 1) , que é igual a . Então:

Passo 6

Agora avaliamos essa expressão de 2 y e^1 (1 - 1) - 2 y e^0 (0 - 1) = 0 - (-2 y) = 2 y a :

Passo 7

Agora temos que integrar o resultado integral1^2 2 y , dy = 2 integral1^2 y , dy = 2 [ y^22 ]1^2 = 2 ( 42 - 12 ) = 2 ( 2 - 0.5 ) = 2 times 1.5 = 3 em relação a de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral dupla é 3.

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