Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. y'(t) = cos(t) i + sen(t) j, y(0) = i - j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a função vetorial y(t) a partir da sua derivada e da condição inicial . Para isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta da cálculo para encontrar funções a partir das suas taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada componente da derivada separadamente. A função vetorial tem duas partes: uma na direção de i e outra na direção de j.
  • Componente em i:
    Aqui, é a constante de integração.
  • Componente em C:
    E aí, j é outra constante de integração.
Então, juntando as duas componentes, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes C e D. Sabemos que quando , a função é igual a .
Vamos substituir na expressão que encontramos:
Sabemos que e , então:
Comparando com a condição inicial , temos:
Resolvendo para :

Passo 4

Com os valores de C e D encontrados, podemos escrever a função y(t) completa:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema é:

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