Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a função vetorial
a partir da sua derivada e da condição inicial
. Para isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta da cálculo para encontrar funções a partir das suas taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar cada componente da derivada separadamente. A função vetorial
tem duas partes: uma na direção de
e outra na direção de
.
-
Componente em
: Aqui,é a constante de integração. -
Componente em
: E aí,é outra constante de integração.
Então, juntando as duas componentes, nossa função
fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes
e
. Sabemos que quando
, a função
é igual a
.
Vamos substituir
na expressão que encontramos:
Sabemos que e
, então:
Comparando com a condição inicial
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a função
completa:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule
.
Nos itens abaixo, verifique se para o valor de a indicado, existe o limite da função dada.
.
Seja
Calcule
para que exista
.