Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
entre
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
. Isso significa que a gente está mudando a variável de
para
.
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso nos ajuda a reescrever
em termos de
, o que é essencial para a substituição.
Passo 4
Vamos também mudar os limites de integração de
para
. Quando
:
E quando
:
Então, nossos novos limites são de
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Aqui, usamos a expressão de
em termos de
e substituímos
por
.
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Não esquecendo da constante de integração
, mas como estamos fazendo uma integral definida, ela será cancelada.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Simplificamos os cálculos e substituímos os valores de
nos limites.
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Suponha que o campo de forças
mova uma partícula da origem ao ponto
. Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
i - segmento de reta da origem ao ponto ;
ii - do segmento da parábola da origem ao ponto
.
i - segmento de reta da origem ao ponto
ii - do segmento da parábola
Para cada função, determine os pontos de máximos ou de mínimos locais.