integral12^1 raiz2 x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de entre e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja . Isso significa que a gente está mudando a variável de para .

Passo 3

Agora, precisamos derivar dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx Rightarrow dx = du2 em relação a para encontrar :
Isso nos ajuda a reescrever em termos de , o que é essencial para a substituição.

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração de u = 2 (12) - 1 = 1 - 1 = 0 para u = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 . Quando :
E quando :
Então, nossos novos limites são de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral12^1 raiz2x - 1,dx = integral0^1 raizu cdot du2 = 12 integral0^1 u^12,du
Aqui, usamos a expressão de em termos de e substituímos por .

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^12,du = u^3232 = 23u^32 + C :
Não esquecendo da constante de integração , mas como estamos fazendo uma integral definida, ela será cancelada.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
12 [ 23u^32 ]0^1 = 12 cdot 23 (1^32 - 0^32) = 13 (1 - 0) = 13
Simplificamos os cálculos e substituímos os valores de nos limites.

Resposta

A integral é igual a .

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