integral2^4 x ln x d x, n=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é muito útil quando temos produtos de funções, como aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar, e como a parte restante que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos identificar u = ln x Rightarrow du = 1x , dx e dv = x , dx Rightarrow v = x^22 :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln x , dx = u , v - integral v , du = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx

Passo 5

Integrando 12 cdot x^22 = x^24 :
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C
Então, a expressão fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral definida de 2 a 4:
integral2^4 x ln x , dx = [ x^22 ln x - x^24 ]2^4
Primeiro, calculamos em 4^22 ln 4 - 4^24 = 162 ln 4 - 164 = 8 ln 4 - 4 :
2^22 ln 2 - 2^24 = 42 ln 2 - 44 = 2 ln 2 - 1
Depois, em (8 ln 4 - 4) - (2 ln 2 - 1) = 8 ln 4 - 4 - 2 ln 2 + 1 = 8 ln 4 - 2 ln 2 - 3 :
Subtraindo:

Passo 7

Simplificando os logaritmos, lembrando que 8 ln 4 = 8 times 2 ln 2 = 16 ln 2 :
16 ln 2 - 2 ln 2 - 3 = 14 ln 2 - 3
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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