Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é muito útil quando temos produtos de funções, como aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar, e como a parte restante que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos identificar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Integrando :
Então, a expressão fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral definida de 2 a 4:
Primeiro, calculamos em :
Depois, em :
Subtraindo:

Passo 7

Simplificando os logaritmos, lembrando que :
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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