Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica, que é muito útil quando temos produtos de funções, como aqui com
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples ao derivar, e
como a parte restante que conseguimos integrar facilmente.
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Integrando
:
Então, a expressão fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral definida de 2 a 4:
Primeiro, calculamos em
:
Depois, em
:
Subtraindo:
Passo 7
Simplificando os logaritmos, lembrando que
:
Então:
Resposta
A integral
é igual a
.
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para que exista
.
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.