Beleza, pessoal! Vamos resolver esse limite que envolve uma soma. O enunciado é:
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais definidas, mais especificamente usando a definição de Riemann. Para resolver, vamos precisar entender o que são somas de Riemann, limites e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma de Riemann é uma maneira de aproximar a área sob uma curva, que é essencialmente o que uma integral definida calcula. A expressão dada:
representa uma soma de áreas de retângulos, onde é a função que estamos integrando, é a largura de cada intervalo, e é um ponto qualquer dentro do i-ésimo intervalo.
Passo 3
Agora, quando se aproxima do infinito (), a largura dos intervalos fica muito pequena, e a soma de Riemann se torna uma boa aproximação da integral definida. Portanto, o limite dado é equivalente à integral de no intervalo de 0 a 1:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 5
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 e 0:
Para :
Para :
Passo 6
Subtraindo as duas avaliações:
Para subtrair essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 6: