Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver esse limite que envolve uma soma. O enunciado é:
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais definidas, mais especificamente usando a definição de Riemann. Para resolver, vamos precisar entender o que são somas de Riemann, limites e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de Riemann é uma maneira de aproximar a área sob uma curva, que é essencialmente o que uma integral definida calcula. A expressão dada:
representa uma soma de áreas de retângulos, onde é a função que estamos integrando, é a largura de cada intervalo, e é um ponto qualquer dentro do i-ésimo intervalo.

Passo 3

Agora, quando se aproxima do infinito ( ), a largura dos intervalos fica muito pequena, e a soma de Riemann se torna uma boa aproximação da integral definida. Portanto, o limite dado é equivalente à integral de no intervalo de 0 a 1:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos termo a termo:
Então, a integral completa é:

Passo 5

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 e 0:
Para :
Para :

Passo 6

Subtraindo as duas avaliações:
Para subtrair essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 6:
Então:

Resposta

O valor do limite é .

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Seja Calcule para que exista .