lim n infty sumi=1^n[2(xi^*)^2-5 xi^*] De

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver esse limite que envolve uma soma. O enunciado é:
lim n infty sumi=1^n[2(xi^*)^2-5 xi^*] De
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais definidas, mais especificamente usando a definição de Riemann. Para resolver, vamos precisar entender o que são somas de Riemann, limites e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de Riemann é uma maneira de aproximar a área sob uma curva, que é essencialmente o que uma integral definida calcula. A expressão dada:
sumi=1^n[2(xi^*)^2-5 xi^*] De
representa uma soma de áreas de retângulos, onde é a função que estamos integrando, é a largura de cada intervalo, e é um ponto qualquer dentro do i-ésimo intervalo.

Passo 3

Agora, quando integral0^1 (2x^2 - 5x) , dx se aproxima do infinito ( ), a largura dos intervalos fica muito pequena, e a soma de Riemann se torna uma boa aproximação da integral definida. Portanto, o limite dado é equivalente à integral de no intervalo de 0 a 1:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos termo a termo:
integral (2x^2) , dx = 23x^3
integral (-5x) , dx = -52x^2
Então, a integral completa é:
23x^3 - 52x^2 |0^1

Passo 5

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 1 e 0:
Para 23(1)^3 - 52(1)^2 = 23 - 52 :
23(0)^3 - 52(0)^2 = 0
Para :

Passo 6

Subtraindo as duas avaliações:
( 23 - 52 ) - 0 = 23 - 52
Para subtrair essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 6:
23 = 46 e 52 = 156
Então:
46 - 156 = -116

Resposta

O valor do limite é .

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