6 integralC F cdot d barR, onde F=(cos y) i+(sen x) j e C é o triângulo de vértices (1,0),(1,1) c (0,0) tomado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular , onde e é o triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
No nosso caso, , onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. O triângulo tem vértices em , e . Podemos descrever de duas maneiras, mas vamos escolher integrar de baixo para cima para cada fixo entre 0 e 1.
Para cada entre 0 e 1:
  • O limite inferior de é 0.
  • O limite superior de é (já que a linha que liga a é vertical, mas para simplificar, consideramos ).

Passo 5

Então, nossa integral dupla fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a integral duplaD (cos x + sen y) , dx , dy = integralx=0^1 integraly=0^x (cos x + sen y) , dy , dx :
Calculando cada parte:
integral0^x (cos x + sen y) , dy = cos x integral0^x dy + integral0^x sen y , dy
Somando as duas partes:
cos x integral0^x dy = cos x cdot [y]0^x = cos x cdot x

Passo 6

Agora, integramos essa expressão em relação a integral0^1 [cos x (x - 1) + 1] , dx = integral0^1 cos x (x - 1) , dx + integral0^1 1 , dx de 0 a 1:
integral cos x (x - 1) , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
uv - integral v , du = (x - 1) sen x - integral sen x , dx = (x - 1) sen x + cos x
Usamos integração por partes, onde:
  • [(1 - 1) sen 1 + cos 1] - [(0 - 1) sen 0 + cos 0] = [0 + cos 1] - [0 + 1] = cos 1 - 1
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a 1:
Segunda integral:
integral0^1 1 , dx = [x]0^1 = 1 - 0 = 1
Somando as duas partes:
cos 1 - 1 + 1 = cos 1

Passo 7

Lembrando que aplicamos o Teorema de Green, então:
ointC F cdot dR = cos 1
Mas o exercício pede 6 ointC F cdot dR = 6 cos 1 vezes essa integral:

Resposta

Portanto, a resposta final é:
6 integralC F cdot dR = 6 cos 1 approx 6 times 0,5403 approx 3,242

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