onde e é o triângulo de vértices tomado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular , onde e é o triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula é:
No nosso caso, , onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. O triângulo tem vértices em , e . Podemos descrever de duas maneiras, mas vamos escolher integrar de baixo para cima para cada fixo entre 0 e 1.
Para cada entre 0 e 1:
  • O limite inferior de é 0.
  • O limite superior de é (já que a linha que liga a é vertical, mas para simplificar, consideramos ).

Passo 5

Então, nossa integral dupla fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Usamos integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a 1:
Segunda integral:
Somando as duas partes:

Passo 7

Lembrando que aplicamos o Teorema de Green, então:
Mas o exercício pede vezes essa integral:

Resposta

Portanto, a resposta final é:

Exercícios relacionados

Nos problemas 11 a 18, use o teorema de Green para calcular cada integral de linha. Em cada caso, suponha que a curva fechada é tomada no sentido anti-horário.
onde e é o círculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido anti-horário.
Sobre os vetores e escalares, respondei o que se pede abaixo.
c) A velocidade de uma partícula em dado instante de tempo é uma grandeza escalar ou vetorial? Justificai.
Seja uma função duas vezes derivável tal que é contínua. Sabendo que e , calcule:
b. .