onde
e
é o triângulo de vértices
tomado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular
, onde e
é o triângulo com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
No nosso caso,
, onde
e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. O triângulo tem vértices em
,
e
. Podemos descrever
de duas maneiras, mas vamos escolher integrar
de baixo para cima para cada
fixo entre 0 e 1.
Para cada
entre 0 e 1:
- O limite inferior de
é 0. - O limite superior de
é (já que a linha que liga a é vertical, mas para simplificar, consideramos ).
Passo 5
Então, nossa integral dupla fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Usamos integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a 1:
Segunda integral:
Somando as duas partes:
Passo 7
Lembrando que aplicamos o Teorema de Green, então:
Mas o exercício pede
vezes essa integral:
Resposta
Portanto, a resposta final é: